Question

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow m=（cos（A-B），sin（A-B））$，$\overrightarrow n=（cosB，-sinB）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若$a=4\sqrt{2}，b=5$，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数量积公式结合三角函数公式求出A的正弦值；
（Ⅱ）结合余弦定理分别求出c和cosB即可．

解答 解：（Ⅰ）由向量$\overrightarrow m=（cos（A-B），sin（A-B））$，$\overrightarrow n=（cosB，-sinB）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-\frac{3}{5}$．
得到cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=cosA=-$\frac{3}{5}$，A为三角形内角，所以sinA=$\frac{4}{5}$；
（Ⅱ）$a=4\sqrt{2}，b=5$，由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，即32=25+c²+6c，解得c=1，
由余弦定理得到cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-c•a•cosB=-4．

点评 本题考查了三角形内各边对应的向量的数量积的运算；注意向量的夹角与三角形内角的关系．