题目内容
已知F1、F2是椭圆Γ1：
+
=1和双曲线Γ2：
-
=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=
，则mn的最大值为 ．
| x2 |
| m2 |
| y2 |
| m2-4 |
| x2 |
| n2 |
| y2 |
| 4-n2 |
| π |
| 3 |
考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质
专题：解三角形,不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．
解答：
解：设|PF1|=s，|PF2|=t，
由题意可得公共焦点为知F1（-2，0），F2（2，0），
即有c=2，
在三角形PF1F2中，
由余弦定理可得4c2=s2+t2-2stcos60°
即s2+t2-st=16，
由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），
由双曲线的定义可得s-t=2n（n＞0），
解得s=m+n，t=m-n．
即有16=（m+n）2+（m-n）2-（m+n）（m-n）=m2+3n2≥2
mn，
即有mn≤
．
当且仅当m=
n，取得最大值
．
故答案为：
．
由题意可得公共焦点为知F1（-2，0），F2（2，0），
即有c=2，
在三角形PF1F2中，
由余弦定理可得4c2=s2+t2-2stcos60°
即s2+t2-st=16，
由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），
由双曲线的定义可得s-t=2n（n＞0），
解得s=m+n，t=m-n．
即有16=（m+n）2+（m-n）2-（m+n）（m-n）=m2+3n2≥2
| 3 |
即有mn≤
8
| ||
| 3 |
当且仅当m=
| 3 |
8
| ||
| 3 |
故答案为：
8
| ||
| 3 |
点评：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．
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| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| A、0 | B、-2 | C、1 | D、2 |