Question

【题目】设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立，记（），

（１）求数列的通项公式；

（2）记（），设数列的前n和为，求证：对任意正整数n，都有．

Answer 1

【答案】（1）（）

（２）对任意正整数n，都有，证明略

【解析】

试题（1）已知与的关系式，如本题，都是再写一次（可用代），，两式相减后得数列的递推式，从而可得，数列是等比数列，因此通项公式可得；（2）由（1）求得，从要证明的不等式看，要求能计算出其和，但从通项的形式知其和求不出来，但是从问题看，想象能否采用放缩法，即把放大一点，以便可求和，，此时要注意，不能用这种放缩法，可直接计算得，当时，用此放缩法得，求和后可证得不等式成立．

试题解析：（1）当时，，∴，

又∵，，∴，即，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴．

（2）由得

又，当时，，

当时，

∴对任意正整数都有．