Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数）

（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；

（2）若， ，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）对求导可得，根据的取值，分， ， 和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分， 和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．

试题解析：

（1）∵，

∴，

当时， 在上单调递减，在上单调递增，

有1个极值点；

当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

有2个极值点；

当时， 在上单调递增，此时没有极值点；

当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

有2个极值点；

综上可得：当时， 有1个极值点；当且时， 有2个极值点；当时， 没有极值点．

（2）由得.

①当时，由不等式得，

即对在上恒成立.

设，则.

设，则.

， ，

在上单调递增，

，即，

在上单调递减，在上单调递增，

，

.

②当时，不等式恒成立， ；

③当时，由不等式得.

设，则.

设，则，

在上单调递减，

.

若，则，

在上单调递增，

.

若， ，

，使得时， ，即在上单调递减，

，舍去.

.

综上可得， 的取值范围是.