题目内容

已知：向量 $数学公式$
（1）若tanαtanβ=16，求证： $数学公式$ ；
（2）若 $数学公式$ 垂直，求tan（α+β）的值；
（3）求 $数学公式$ 的最大值．

解：（1）∵tanαtanβ=16，∴sinαsinβ=16cosαcosβ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，
∴ $\text{[math]}$ ；
（2）∵ $\text{[math]}$ 垂直，∴ $\text{[math]}$ ，
即4cosαsinβ+4sinαcosβ-2（4cosαcosβ-4sinαsinβ）=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，
∴tan（α+β）=2；
（3） $\text{[math]}$ =（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴ $\text{[math]}$ =（sinβ+cosβ）²+（4cosβ-4sinβ）²
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β
∴当sin2β=-1时， $\text{[math]}$ 取最大值 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）由题意可得sinαsinβ=16cosαcosβ，即4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，进而可得平行；
（2）由垂直可得数量积为0，展开后由三角函数的公式可得tan（α+β）的值；
（3）可得 $\text{[math]}$ 的坐标，进而可得模长平方的不等式，由三角函数的知识可得最值，开方可得．
点评：本题考查向量的平行和垂直，以及三角函数的综合应用，属基础题．