Question

2．已知函数f（x）=|x-2|+2，g（x）=m|x|（m∈R）．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）＞5，得|x-2|＞3，即可解关于x的不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，得|x-2|≥m|x|-2对任意x∈R恒成立，分类讨论，分离参数，即可求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）＞5，得|x-2|＞3，
即x-2＜-3或x-2＞3，…（3分）
∴x＜-1或x＞5．故原不等式的解集为{x|x＜-1或x＞5}…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≥g（x），得|x-2|≥m|x|-2对任意x∈R恒成立，
当x=0时，不等式|x-2|≥m|x|-2成立，
当x≠0时，问题等价于$m≤\frac{{|{x-2}|+2}}{|x|}$对任意非零实数恒成立，…（7分）
∵$\frac{{|{x-2}|+2}}{|x|}≥\frac{{|{x-2+2}|}}{|x|}=1$，∴m≤1，即m的取值范围是（-∞，1]．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．