题目内容

设数列{an}的首项，且，n∈N*，记，，n∈N*．
（1）求a2，a3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当时，数列{cn}前n项和为Sn，求Sn最值．
【答案】分析：（I）由且，n∈N*，求解可得a2=a+，a3=（a+）．
（II）由记，可推知bn=a2n-1-=（a2n-3+）-=（a2n-3-）=bn-1，又因为b1=a1-=a-≠0由等比数列的定义可知数列{bn}为等比数列．
（III）当a＞时，{bn}为正项等比数列，可由bn+1+bn+2+bn+…+bn+m=bn+1＜2bn+1=bn，当n≥4时，sn-s3=-b4-b5+…+，从而有sn-s3＜b2-b3-b4-…-bn＜0同理，可得sn-s1=b2+b3-b4-b5+…+，可推知：当n≥4，s1＜sn＜s3，s1＜s2＜s3从而得到结论．
解答：解：（I）a2=a+，a3=（a+）
（II）∵bn=a2n-1-=（a2n-3+）-=（a2n-3-）=bn-1
∵b1=a1-=a-≠0
∴的等比数列
（III）当a＞时，
∵{bn}为正项等比数列，
∴bn+1+bn+2+bn+…+bn+m=bn+1＜2bn+1=bn
当n≥4时，sn-s3=-b4-b5+…+bn＜b2-b3-b4-…-bn＜0
sn-s1=b2+b3-b4-b5+…+bn＞b2-b3-b4-…-bn＞0
当n≥4，s1＜sn＜s3，s1＜s2＜s3
故sn的最大值为s3=（a+），最小值为s1=a+
点评：本题主要考查数列的定义，通项及前n项和，还考查了数列的构造及前n项和的最值问题．难度较大．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的首项a1=
3
2
，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（ n∈N*）．
（Ⅰ）求a2及an；
（Ⅱ）求满足
18
17
＜
S2n
Sn
＜
8
7
的所有n的值．
设数列{an}的首项a1=a≠
1
4
，且an+1=
1
2
an		(n为偶数)
an+
1
4
(n为奇数)
，n∈N*，记bn=a2n-1-
1
4
，cn=
sinn
|sinn|
bn，n∈N*．
（1）求a2，a3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当a＞
1
4
时，数列{cn}前n项和为Sn，求Sn最值．
设数列{an}的首项a1=
1
2
，且an+1=
2an
1+an
（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根据上述结果猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
（2012•昌平区二模）设数列{an}的首项a1=-
1
2
，前n项和为Sn，且对任意n，m∈N*都有
Sn
Sm
=
n(3n-5)
m(3m-5)
，数列{an}中的部分项{abk}(k∈N*）成等比数列，且b1=2，b2=4．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}与的通项公式；
（Ⅱ）令f(n)=
1
bn+1
，并用x代替n得函数f（x），设f（x）的定义域为R，记cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)(n∈N*)，求
n
i=1
1
cici+1
．
设数列{an}的首项a1=
5
4
，且an+1=
1
2
an，n为偶数
an+
1
4
，n为奇数
，记bn=a2n-1-
1
4
，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若设数列{cn}的前n项和为Sn，cn=nbn，求Sn．

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