Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标后，再求出平面EAC和平面ACD的法向量，代入向量夹角公式即可求出二面角E-AC-D的余弦值；
（2）由（1）的结论，我们进一步求出平面AEC的法向量及直线CD的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到直线CD与平面AEC所成角的正弦值．
解答：解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
E（0，2，1），P（0，0，2）．
∴=（2，0，0），=（0，4，0），=（0，0，2），=（-2，0，0），=（0，2，1），=（2，4，0）．

（1）设平面AEC的法向量=（x，y，z），令z=1，则=（x，y，1）．
由即，解得∴=（1，，1）．
平面ABC的法向量=（0，0，2）．
cos===．
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是．
（2）因为平面ABC的法向量是=（1，，1），而=（-2，0，0）．
所以cosθ===-．
直线CD与平面AEC的正弦值．
点评：本题考查的知识点是利用空间向量求平面间的夹角，用空间向量求直线与平面的夹角，其中建立坐标系，将二面角及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．