Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P-AEC的体积．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能够证明平面PDC⊥平面PAD．
（2）由E（0，2，1），P（0，0，2），C（2，4，0），A（0，0，0），知

AP

=(0，0，2)，

AC

=（2，4，0），

AE

=（0，2，1），求出平面PAC的法向量，利用向量法求出点E到平面PAC的距离d，再求出△PAC的面积，由三棱锥P-AEC的体积V=

1

3

×S△PAC×d，能求出结果．

解答：（1）证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=2，BC=4，
∴P（0，0，2），C（2，4，0），D（0，4，0），
∴

PC

=(2，4，-2)，

PD

=(0，4，-2)，
设平面PCD的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

PC

=0，

n

•

PD

=0，
∴

2x+4y-2z=0 4y-2z=0

，∴

n

=(0，1，2)，
∵平面PAD的法向量

n1

=(1，0，0)，
∴

n

•

n1

=0，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（2）解：∵E（0，2，1），P（0，0，2），C（2，4，0），A（0，0，0），
∴

AP

=(0，0，2)，

AC

=（2，4，0），

AE

=（0，2，1），
设平面PAC的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，则

AP

•

n2

=0，

AC

•

n2

=0，
∴

2z2=0 2x2+4y2=0

，∴

n2

=（2，-1，0），
∴点E到平面PAC的距离d=

| AE • n2 |

| n2 |

=

|-2|

5

=

2 5

5

，
∵S△PAC=

1

2

×2×

4+16

=2

5

，
∴三棱锥P-AEC的体积V=

1

3

×S△PAC×d=

1

3

×2

5

×

2 5

5

=

4

3

．

点评：本题考查平面与平面的垂直，考查棱锥的体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．