Question

2．矩形ABCD的顶点A，B在直线y=2x+m上，C，D在抛物线y²=4x上，该矩形的外接圆方程为x²+y²-x-4y-t=0．
（1）求矩形ABCD对角线交点M的坐标；
（2）求此矩形的长，并求m，t的值．

Answer 1

分析 （1）矩形ABCD对角线交点M，即矩形的外接圆圆心，由矩形的外接圆方程，可得答案；
（2）设矩形ABCD的顶点C，D的坐标为：（$\frac{1}{4}{a}^{2}$，a），（$\frac{1}{4}{b}^{2}$，b），矩形ABCD的顶点A，B的坐标为：（1-$\frac{1}{4}{a}^{2}$，4-a），（1-$\frac{1}{4}{b}^{2}$，4-b），则k_AB=2，k_BC=-$\frac{1}{2}$，可得a，b的值，进而得到m，t的值．

解答 解：（1）矩形ABCD对角线交点M，即矩形的外接圆圆心，
由矩形的外接圆方程为x²+y²-x-4y-t=0．
故M点的坐标为（$\frac{1}{2}$，2）；
（2）设矩形ABCD的顶点C，D的坐标为：（$\frac{1}{4}{a}^{2}$，a），（$\frac{1}{4}{b}^{2}$，b）
矩形ABCD的顶点A，B的坐标为：（1-$\frac{1}{4}{a}^{2}$，4-a），（1-$\frac{1}{4}{b}^{2}$，4-b），
则k_AB=$\frac{（4-a）-（4-b）}{（4-\frac{1}{4}{a}^{2}）-（4-\frac{1}{4}{b}^{2}）}$=$\frac{4}{a+b}$=2，
故a+b=2；
k_BC=$\frac{a-（4-b）}{\frac{1}{4}{a}^{2}-（1-\frac{1}{4}{b}^{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
即a²+b²=20，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=4\end{array}\right.$，
不妨令：$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=4\end{array}\right.$，则点C，D的坐标为：（1，-2），（4，4）
A，B的坐标为：（0，6），（-3，0），
则m=6，t=12．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般方程，直线垂直的条件，方程思想，难度中档．