Question

14．已知|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow b$|=2．
（1）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为150°，求|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|；
（2）若$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角大小．

Answer 1

分析 （1）利用|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$即可得出；
（2）由$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，可得（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=${\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，化简即可得出．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{3+4×\sqrt{3}×2cos15{0}^{°}+4×{2}^{2}}$=$\sqrt{19-12}$=$\sqrt{7}$；
（2）∵$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=${\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3-2$\sqrt{3}$$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=0，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=30°．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．