Question

3．已知f（x）=e^x-x-1（e为自然对数的底数）．
（1）求证：f（x）≥0恒成立；
（2）求证：（$\frac{1}{2n}$）ⁿ+（$\frac{3}{2n}$）ⁿ+（$\frac{5}{2n}$）ⁿ+…+（$\frac{2n-1}{2n}$）ⁿ＜$\frac{\sqrt{e}}{e-1}$对一切正整数n均成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到f（x）的最小值，从而证出结论；
（2）根据不等式1+x≤e^x恒成立，得到0＜1-$\frac{i}{2n}$≤${e}^{-\frac{i}{2n}}$，其中i=1，2，3…2n-1，求和即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-1，
∴当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．
∴f（x）在区间（-∞，）]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）在R上的最小值为f（0）=0，因此f（x）≥0恒成立；
（2）由（1）知，不等式1+x≤e^x恒成立，
所以对任意正整数n有，0＜1-$\frac{i}{2n}$≤${e}^{-\frac{i}{2n}}$，其中i=1，2，3…2n-1，
即对任意正整数n有，0＜${（\frac{2n-i}{2n}）}^{n}$≤${e}^{-\frac{i}{2}}$，其中i=1，2，3，…，2n-1，
∴（$\frac{1}{2n}$）ⁿ+（$\frac{3}{2n}$）ⁿ+（$\frac{5}{2n}$）ⁿ+…+（$\frac{2n-1}{2n}$）ⁿ
＜${e}^{-\frac{2n-1}{2}}$+${e}^{-\frac{2n-3}{2}}$+…+${e}^{-\frac{1}{2}}$
=$\frac{{e}^{-\frac{1}{2}}（1{-e}^{-n}）}{1{-e}^{-1}}$＜$\frac{{e}^{-\frac{1}{2}}}{1{-e}^{-1}}$=$\frac{\sqrt{e}}{e-1}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明即可．