题目内容
13．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且$\frac{A_n}{B_n}$=$\frac{6n+54}{n+5}$，则使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数n的个数是（ ）| A． | 5 | B． | 4 | C． | 3 | D． | 2 |
分析 由于$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$=6+$\frac{12}{n+2}$，n的取值只要使得$\frac{12}{n+2}$为正整数即可得出．
解答 解：$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}{\frac{（2n-1）（{b}_{1}+{b}_{2n-1}）}{2}}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$=$\frac{6（2n-1）+54}{2n-1+5}$=$\frac{6n+24}{n+2}$=6+$\frac{12}{n+2}$，
当n=1，2，4，10时，$\frac{12}{n+2}$为正整数，即使得$\frac{a_n}{b_n}$为整数的正整数n的值只有4个．
故选：B．
点评 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、整除的理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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8．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB=$\frac{1}{3}$，则tan2$\frac{A+C}{2}$+sin2$\frac{B}{2}$的值为（ ）
| A． | $\frac{7}{3}$ | B． | $\frac{17}{50}$ | C． | $\frac{11}{3}$ | D． | $\frac{5}{3}$ |