Question

5．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且点A（-1，0），B（1，0），动点C满足$\frac{a+b}{c}$=λ（λ为常数且λ＞1），动点C的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）试求曲线E的方程；
（Ⅱ）当λ=$\sqrt{3}$时，过定点B（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，N是曲线E上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知丨CA丨+丨CB丨=2λ＞2，则动点C的轨迹P为椭圆（除去A、B与共线的两个点）．即可求得求曲线E的方程；
（Ⅱ）当λ=$\sqrt{3}$时，求得椭圆方程，分类讨论，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用导数求得函数单调性区间，即可求得△NPQ面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由丨AB丨=2，则丨CA丨+丨CB丨=2λ（定值），且2λ＞2，
∴动点C的轨迹P为椭圆（除去A、B与共线的两个点）．
设其标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则a²-λ²b²-λ²=1，
∴求曲线的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}-1}=1$（x≠±λ），
（Ⅱ）当λ=$\sqrt{3}$时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$（x≠±$\sqrt{3}$），．
①过定点B的直线与x轴重合时，△NPQ面积无最大值，
②过定点B的直线不与x轴重合时，
设l方程为：x=my+1，P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
若m=0，由x≠±$\sqrt{3}$，故此时△NPQ面积无最大值．
根据椭圆的几何性质，不妨设m＞0，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（3+2m²）y²+4my-4=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$，则丨PQ丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$丨y₁-y₂丨=$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{3+2{m}^{2}}$．
因为当直线l与平行且与椭圆相切时，切点N到直线l的距离最大，
设切线l：x=my+n（n＜$\sqrt{3}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得（3+2m²）y²+4mny+2n²-6=0，
由△=（4mn）²-4（3+2m²）（2n²-6）=0，解得：2n²-3+2m²=0，n＜-$\sqrt{3}$．
又点N到直线l的距离d=$\frac{丨n-1丨}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴△NPQ面积S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{3+2{m}^{2}}$×$\frac{丨n-1丨}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{3}丨n-1丨\sqrt{{m}^{2}+1}}{3+2{m}^{2}}$，
∴S²=$\frac{12（n-1）^{2}（{m}^{2}+1）}{（3+2{m}^{2}）^{2}}$．将n²=3+2m²，代入得：S²=6（1-$\frac{1}{n}$）²（1-（$\frac{1}{n}$）²），
令t=$\frac{1}{n}$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），设函数f（t）=6（1-t）²（1-t²），则f′（t）=-12（t-1）²（2t+1），
由当t∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）时，f′（t）＞0，当t∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，f′（t）＜0，
∴f（t）在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）上是增函数，在（-$\frac{1}{2}$，0）上是减函数，
∴f_min（t）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{81}{8}$．
故m²=$\frac{1}{2}$时，△NPQ面积最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
∴当l的方程为x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+1时，△NPQ的面积最大，最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．