Question

设函数y=cos(2x-

π

3

)-cos2x
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递增区间即可确定出f（x）的得到递增区间；
（Ⅱ）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的最小值，以及此时x的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
则f（x）的最小值为-

1

2

，此时x的集合为{0}．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．