Question

设函数y=cos(2x-

π

3

)-cos2x-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-k在[0，

π

2

]内有零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出单调递增区间；
（Ⅱ）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域及y=f（x）-k在[0，

π

2

]内有零点，即可确定出k的范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∵函数y=f（x）-k在[0，

π

2

]内有零点，
∴-

3

2

≤k≤0．

点评：此题考查了二倍角的余弦，函数的零点，两角和与差的正弦、余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．