Question

（2012•宁德模拟）设函数y=cos(2x-

π

3

)-cos2x-1
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）-k在[0，π）内恰有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将y=cos（2x-

π

3

）-cos2x-1转化为y=sin（2x-

π

6

）-1，即可求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）依题意可求得-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，从而有-2≤f（x）≤0，继而得-2＜k＜0．

解答：解：（1）f（x）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1…3分
∴函数f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π，…5分
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）…7分
（2）∵0≤x＜π，f（x）的最小正周期是π，
∴-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴-2≤f（x）≤0，…9分
又∵函数y=f（x）-k在（0，π）内恰有两个零点，
∴-2＜k＜0，
∴k的取值范围是（-2，0）…12分

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的零点与方程根的关系，考查三角函数的周期性及其求法，考查复合函数的单调性，属于中档题．