Question

已知函数f(x)=

1+cosx+cos2x+cos3x

1-cosx-2cos2x

（1）当sinθ-2cosθ=2时，求f（θ）的值；
（2）当k=

f(x)-1

f(x)+2

时，求k的取值范围．
（3）设函数y=

f( π 2 -x)

f(x)+4

，x∈(0，

π

6

) ∪(

π

6

，π)，求函数y的最小值．
注：sinθ+sinφ=2sin

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

，cosθ+cosφ=2cos

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的和差化积公式与二倍角的余弦公式，化简得f（x）=-2cosx．由sinθ-2cosθ=2得

5

sin（θ-β）=2（β是满足tanβ=2的锐角），再利用两角和的余弦公式并利用配方法，即可求出f（θ）=2或

6

5

；
（2）化简得k=

f(x)-1

f(x)+2

=1+

3

2cosx-2

，再利用余弦函数的值域和不等式的性质加以计算，可得k的取值范围；
（3）化简函数y=

f( π 2 -x)

f(x)+4

得y=

sinx

cosx-2

．利用二倍角的三角函数公式和“弦化切”，并利用基本不等式加以计算，即可求出当x=

π

3

时，y的最小值为-

3

3

．

解答：解：∵f(x)=

1+cosx+cos2x+cos3x

1-cosx-2cos2x

=

(1+cos3x)+(cosx+cos2x)

-cosx-cos 2x

=

2(cos 3x 2 •cos 3x 2 )+2(cos 3x 2 •cos x 2 )

-2(cos 3x 2 •cos  x 2 )

=

2cos 3x 2 •(cos 3x 2 +cos x 2 )

-2(cos 3x 2 •cos  x 2 )

=

2cos 3x 2 •2(cosx•cos x 2 )

-2(cos 3x 2 •cos  x 2 )

=-2cosx
（1）∵sinθ-2cosθ=2，∴

5

sin（θ-β）=2，其中β是满足sinβ=

2

5

，cosβ=

1

5

的锐角
可得sin（θ-β）=

2

5

，cos（θ-β）=±

1

5

∴cosθ=cos[β+（θ-β）]=cosβcos（θ-β）-sinβsin（θ-β）=

1

5

×（±

1

5

）-

2

5

×

2

5

=-1或-

3

5

因此，f（θ）=-2cosθ=2或

6

5

；
（2）k=

f(x)-1

f(x)+2

=

-2cosx-1

-2cosx+2

=1+

3

2cosx-2

∵-1≤cosx＜1，∴-4≤2cosx-2＜0
可得

3

2cosx-2

≤-

3

4

，得k=1+

3

2cosx-2

≤

1

4

，当且仅当cosx=-1时等号成立
∴k=

f(x)-1

f(x)+2

的取值范围为（-∞，

1

4

]；
（3）y=

f( π 2 -x)

f(x)+4

=

-2cos( π 2 -x)

-2cosx+4

=

sinx

cosx-2

∵sinx=2sin

x

2

cos

x

2

，cosx=cos²

x

2

-sin²

x

2

，2=2（cos²

x

2

+sin²

x

2

）
∴

sinx

cosx-2

=-

2sin x 2 cos x 2

3sin2 x 2 +cos2 x 2

=-

2

3sin x 2 cos x 2 + cos x 2 sin x 2

∵

3sin x 2

cos x 2

+

cos x 2

sin x 2

≥2

3sin x 2 cos x 2 • cos x 2 sin x 2

=2

3

∴

2

3sin x 2 cos x 2 + cos x 2 sin x 2

≤

2

2 3

=

3

3

，
当且仅当sin

x

2

=

1

2

、cos

x

2

=

3

2

时等号成立．
可得y=

f( π 2 -x)

f(x)+4

=

sinx

cosx-2

=-

2

3sin x 2 cos x 2 + cos x 2 sin x 2

≥-

3

3

∵x∈(0，

π

6

) ∪(

π

6

，π)，
∴当x=

π

3

时，y的最小值为-

3

3

．

点评：本题着重考查了三角函数的和差化积公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系与诱导公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．