Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由椭圆离心率可得a，b的关系，依题意设椭圆方程为：，把点（4，1）代入求得b值，则椭圆方程可求；

（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式大于0列式求得实数m的取值范围．

（1）由椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，得，

即，∴a2＝4b2，依题意设椭圆方程为：，

把点（4，1）代入得b2＝5，∴椭圆方程为；

（2）因为直线交椭圆于不同的两点A，B.

联立，得5x2+8mx+4m2﹣20＝0．

由△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝400﹣16m2＞0，解得﹣5＜m＜5．

∴m的取值范围是（﹣5，5）．