题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．

 

答案：
解析：

解：设所求椭圆方程为

依题意知，点P、Q的坐标满足方程组

　　
　　 　　

①

　　

 

　　

②

　　 　　
 
                           

将②式代入①式，整理得

(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)=0,                ③                    

设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为

P(x1，x1＋1)，Q(x2，x2＋1)．                                           

由题设OP⊥OQ,|PQ|=，可得

整理得

　　
　　 　　

④

　　

⑤

　　 　　
 
                                     

解这个方程组，得

    或 

根据根与系数的关系，由③式得

(Ⅰ)    或  (Ⅱ)                

解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得

    或   

故所求椭圆的方程为

，  或    

 


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（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O为坐标原点）的取值范围；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上点P(3
2
，4)到两焦点的距离之和是12，则椭圆的标准方程是
 
．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为6
3
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
2
2
，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为
2
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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