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精英家教网已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;
(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,由此能够求出a,b,c的值,从而得到所求椭圆方程.
(2)右焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题设条件得y1=-1,y2=
1
3
.由此入手可求出S△POQ=
1
2
|OF|•|y1-y2|=
1
2
|y1-y2|=
2
3

(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与x轴不垂直,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).由题意知(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由此可知0<m<
1
2
解答:解:(1)由已知,椭圆方程可设为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.(1分)
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,
b=c=1 , a=
2

所求椭圆方程为
x2
2
+y2=1
.(4分)
(2)右焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
x2+2y2=2
y=x-1
得3y2+2y-1=0,解得y1=-1,y2=
1
3

S△POQ=
1
2
|OF|•|y1-y2|=
1
2
|y1-y2|=
2
3
.(9分)
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与x轴不垂直,所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
x2+2y2=2
y=k(x-1)
可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
MP
=(x1-m, y1),
MQ
=(x2-m, y2),
PQ
=(x2-x1, y2-y1)
.其中x2-x1≠0
以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?(
MP
+
MQ
)⊥
PQ
?(
MP
+
MQ
)•
PQ
=0
?(x1+x2-2m,y1+y2)(x2-x1,y2-y1)=0?(x1+x2-2m)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0?(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=0?(
4k2
1+2k2
-2m)+k2(
4k2
1+2k2
-2)=0
?2k2-(2+4k2)m=0?m=
k2
1+2k2
(k≠0)

0<m<
1
2
.(14分)
点评:本题考查圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
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