题目内容
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;
(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设椭圆方程为
+
=1(a>b>0).由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,由此能够求出a,b,c的值,从而得到所求椭圆方程.
(2)右焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题设条件得y1=-1,y2=
.由此入手可求出S△POQ=
|OF|•|y1-y2|=
|y1-y2|=
.
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与x轴不垂直,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).由题意知(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由此可知0<m<
.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(2)右焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题设条件得y1=-1,y2=
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与x轴不垂直,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).由题意知(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由此可知0<m<
1 |
2 |
解答:解:(1)由已知,椭圆方程可设为
+
=1(a>b>0).(1分)
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,
∴b=c=1 , a=
.
所求椭圆方程为
+y2=1.(4分)
(2)右焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得3y2+2y-1=0,解得y1=-1,y2=
.
∴S△POQ=
|OF|•|y1-y2|=
|y1-y2|=
.(9分)
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与x轴不垂直,所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
由
可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
∴x1+x2=
,x1x2=
.
=(x1-m, y1),
=(x2-m, y2),
=(x2-x1, y2-y1).其中x2-x1≠0
以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?(
+
)⊥
?(
+
)•
=0?(x1+x2-2m,y1+y2)(x2-x1,y2-y1)=0?(x1+x2-2m)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0?(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=0?(
-2m)+k2(
-2)=0?2k2-(2+4k2)m=0?m=
(k≠0).
∴0<m<
.(14分)
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,
∴b=c=1 , a=
2 |
所求椭圆方程为
x2 |
2 |
(2)右焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
|
1 |
3 |
∴S△POQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与x轴不垂直,所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
由
|
∴x1+x2=
4k2 |
1+2k2 |
2k2-2 |
1+2k2 |
MP |
MQ |
PQ |
以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?(
MP |
MQ |
PQ |
MP |
MQ |
PQ |
4k2 |
1+2k2 |
4k2 |
1+2k2 |
k2 |
1+2k2 |
∴0<m<
1 |
2 |
点评:本题考查圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
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