题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为
2
2
,坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为
2
2

(1)求椭圆的方程;
(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点,在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
分析:(1)利用椭圆的定义及性质、点到直线的距离公式即可求出;
(2)若以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形,则|MQ|=|MP|,把直线l的方程与椭圆的方程联立并利用根与系数的关系即可得出.
解答:解:(1)由题意设此椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,过右焦点F且斜率为1的直线的方程为:y=x-c,
c
a
=
2
2
c
2
=
2
2
a2=b2+c2
解得
c=1
a=
2
b=1
,∴题意的方程为
x2
2
+y2=1

(2)假设存在点M(m,0)(0<m<1)满足条件,使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形,因为直线与x轴不垂直,
所以直线l的方程可设为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2).
x2+2y2=2
y=k(x-1)
 可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
由△>0恒成立,∴x1+x2=
4k2
1+2k2
.(*)
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形,∴|MQ|=|MP|,
(x2-m)2+y22
=
(x1-m)2+y12
,又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1).
化为(1+k2)(x1+x2)-2m-2k2=0
把(*)代入上式得(1+k2
4k2
1+2k2
-2m-2k2=0

化为m=
k2
1+2k2
=
1
2+
1
k2

∵k2>0,∴0<m<
1
2
点评:熟练掌握椭圆的定义及性质、点到直线的距离公式、菱形的性质、直线与椭圆的相交问题的解题模式、一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键.
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