椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.其两焦点为F1.F2.点P在椭圆C上.且 $|{P{F 1}}|=3.|{P{F 2}}|=5.e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.求椭圆C的方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，其两焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且 $|{P{F_1}}|=3，|{P{F_2}}|=5，e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求椭圆C的方程．

分析由椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a=3+5，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．

解答解：由椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a=3+5，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，b=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

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14．若tan（π+α）=3，则sin（-α）cos（π-α）=（　　）

15．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₂+a₃+a₄=3，则S₅=（　　）

12．

甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：
甲：79，81，82，78，95，93，84，88
乙：95，80，92，83，75，85，90，80
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，；
（2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥比较稳定；
（3）在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于90分得再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率．
（参考公式：样本数据x₁，x₂，…，x_n的标准差：
s=$\sqrt{\frac{1}{n}[（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}+（{x}_{2}-\overline{x}）^{2}+…+（{x}_{n}-\overline{x}）^{2}]}$，其中$\overline{x}$为样本平均数）

19．

如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x²，四边形ABCD是矩形，则阴影区域的面积等于（　　）

9．设函数f（x）=x²-ax，g（x）=|x-a|，其中a为实数．
（I）若f（x）+g（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）设t∈R，若?a∈[0，3]，对?x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立，求实数t的最大值．

16．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线与圆x²+y²=b²相交所得弦的长度为1．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设$\overrightarrow{OP}$=（bx₁，ay₁），$\overrightarrow{OQ}$=（（bx₂，ay₂），O为坐标原点．当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：△MON的面积为定值，并求出该定值．

13．

某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示．
（1）估计产品中该物质含量的中位数及平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）规定产品的级别如表：

产品级别	C	B	A
某种物质含量范围	[60，70）	[70，80）	[80，90）

若生产1件A级品可获利润100元，生产1件B级品可获利润50元，生产1件C级品亏损50元．现管理人员从三个等级的产品中采用分层抽样的方式抽取10件产品，试用样本估计生产1件该产品的平均利润．

14．

如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．已知BC=2AD=2AB=2．
（I）证明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若EC=1，求AD与面BED所成角的正弦值．

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