Question

某单位要建造如图所示的仓库，仓库下方是半径为r（m），高为l（m）的圆柱，上方是半球形．按照设计，仓库的体积为定值V（m³）．假设该仓库的建造费用仅与表面积有关，圆柱侧面部分每平方米的造价为c元，半球面部分每平方米的造价为2c元，仓库总的建造费用为y元．
（1）写出y与r的函数关系；
（2）怎样设计仓库，才能使总的建造费用最小？

Answer 1

分析：（1）把半球面的面积用半径r表示出来，由半球的体积与圆柱的体积和等于V得到圆柱的高与底面半径的关系，从而用r表示l，最后把仓库的表面积用含有r的代数式表示，得到建造费用关于r的函数；
（2）利用导函数求极值，也就是最值，同时注意要有实际意义．

解答：解：（1）半球面部分面积为2πr²，
由题意得为πr2l+

2

3

πr3=V，∴l=

V- 2 3 πr3

πr2

．
圆柱侧面部分面积为2πrl=2πr•

V- 2 3 πr3

πr2

=

2V

r

-

4

3

πr2，
所以建造费用y=2c•2πr2+c(

2V

r

-

4

3

πr2)=2c(

V

r

+

4

3

πr2) （r＞0）．
（2）y′=2c(-

V

r2

+

8

3

πr)．
令y^′=0得-

V

r2

+

8

3

πr=0，∴r=

3	3V 8π

．
所以，当仓库的半径r=

3	3V 8π

时，总的建造费用最少．

点评：本题是根据实际问题选择函数模型题，训练了利用导数求函数的最值，解决实际问题时要注意函数的定义域要有实际意义，此题是中档题．