Question

某单位要建造如图所示的仓库，仓库下方是半径为r（m），高为l（m）的圆柱，上方是半球形．按照设计，仓库的体积为定值V（m³）．假设该仓库的建造费用仅与表面积有关，圆柱侧面部分每平方米的造价为c元，半球面部分每平方米的造价为2c元，仓库总的建造费用为y元．
（1）写出y与r的函数关系；
（2）怎样设计仓库，才能使总的建造费用最小？

Answer 1

解：（1）半球面部分面积为2πr²，
由题意得为，∴l=．
圆柱侧面部分面积为，
所以建造费用y= （r＞0）．
（2）．
令y^′=0得，∴r=．
所以，当仓库的半径时，总的建造费用最少．
分析：（1）把半球面的面积用半径r表示出来，由半球的体积与圆柱的体积和等于V得到圆柱的高与底面半径的关系，从而用r表示l，最后把仓库的表面积用含有r的代数式表示，得到建造费用关于r的函数；
（2）利用导函数求极值，也就是最值，同时注意要有实际意义．
点评：本题是根据实际问题选择函数模型题，训练了利用导数求函数的最值，解决实际问题时要注意函数的定义域要有实际意义，此题是中档题．