Question

某房地产公司要在荒地ABCDE（如图所示）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积（尺寸单位：m）．

Answer 1

分析：设计长方形公寓分三种情况：当一端点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB₁面积最大；当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA₁DE的面积最大；当一端点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE．由此能求出结果．

解答：解：如图所示，设计长方形公寓分三种情况：
①当一端点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB₁面积最大，
∴S₁=SBCDB₁=5600m²．
②当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA₁DE的面积最大，
∴S₂=SAA₁DE=6 000m²．
③当一端点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE．
设MQ=x（0≤x≤20），∴MP=PQ-MQ=80-x．
又OA=20，OB=30，则

OA

OB

=

MQ

QB

，
∴

2

3

=

x

QB

，∴QB=

3

2

x，
∴MN=QC=QB+BC=

3

2

x+70，
∴S₃=S_MNDP=MN•MP=（70+

3

2

x）•（80-x）
=-

3

2

（x-

50

3

）²+

18050

3

，
当x=

50

3

时，S₃=

18050

3

．比较S₁，S₂，S₃，得S₃最大，
此时MQ=

50

3

m，BM=

25 13

3

m，
故当长方形一端点落在AB边上离B点

25 13

3

m处时公寓占地面积最大，最大面积为

18050

3

m²．

点评：本题考查函数在生产生活中的具体运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．