Question

20．已知函数f（x）=x${\;}^{-{k}^{2}+k+2}$（k∈Z）且f（2）＜f（3）
（1）求实数k的值；
（2）试判断是否存在正数p，使函数g（x）=1-pf（x）+（2p-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，$\frac{17}{8}$]，若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的性质，结合题意得-k²+k+2＞0，从而求出k的值；
（2）由k的值得出f（x）=x²，写出g（x）的解析式，配方后讨论对称轴的范围，从而求出g（x）的最值，得出值域，即可求出对应的p．

解答 解：（1）由f（2）＜f（3），得-k²+k+2＞0，
即k²-k-2＜0，
又k∈Z，
解得k=0或1；
（2）k=0或1时，f（x）=x²，
g（x）=1-pf（x）+（2p-1）x=-p${（x-\frac{2p-1}{2p}）}^{2}$+$\frac{{4p}^{2}+1}{4p}$，
当$\frac{2p-1}{2p}∈[-1，2]$，即$p∈[\frac{1}{4}，+∞）$时，$\frac{{4{p^2}+1}}{4p}=\frac{17}{8}$，
解得p=2，g（-1）=-4，g（2）=-1；
当$\frac{2p-1}{2p}∈（2，+∞）$时，∵p＞0，∴这样的p不存在；
当$\frac{2p-1}{2p}∈（-∞，-1）$，即$p∈（0，\frac{1}{4}）$时，$g（-1）=\frac{17}{8}，g（2）=-4$，这样的p不存在；
综上得，p=2．

点评 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．