Question

10．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x-1）²+y²=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为$\frac{π}{6}$．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：（x-1）²+y²=1．展开为：x²+y²=2x，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$代入可得曲线C的极坐标方程．直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂．把直线l的参数方程圆的方程可得：t²+（$\sqrt{3}m-\sqrt{3}$）t+m²-2m=0，利用|PA|•|PB|=1，可得|m²-2m|=1，解得m即可得出．

解答 解：（1）曲线C：（x-1）²+y²=1．展开为：x²+y²=2x，可得ρ²=2ρcosθ，即曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂．把直线l的参数方程代入x²+y²=2x，可得：t²+（$\sqrt{3}m-\sqrt{3}$）t+m²-2m=0，∴t₁t₂=m²-2m．
∵|PA|•|PB|=1，∴|m²-2m|=1，解得m=1或1±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与圆的相交弦长问题、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．