Question

直线ycosθ+xsinθ-1=0与圆（x-sinθ）²+（y-1）²=

1

16

相切，θ是锐角，则该直线斜率是（　　）

• A、

  3

• B、

  3

  3

• C、

  2

  2

• D、1

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，让d等于半径1，得到关于cosθ的方程，求出方程的解即可得到cosθ的值，然后根据θ为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出θ的值，然后把θ代入-

sinθ

cosθ

中即可求出直线的斜率．

解答：解：根据圆的方程（x-sinθ）²+（y-1）²=

1

16

，得到圆心坐标（sinθ，1），半径r=

1

4

，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=

|sin2θ+cosθ-1|

cos2θ+sin2θ

=r=

1

4

，
化简得：-cosθ+cos²θ=

1

4

，即（2cosθ-1）²=0，
解得：cosθ=

1

2

，
由θ为锐角，得到θ=

π

3

，
则直线的斜率k=-

sinθ

cosθ

=-tanθ=-tan

π

3

=-

3

．
故选：A．

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，掌握根据直线方程求直线斜率的方法，是一道综合题．