题目内容

10．定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数f'（x）满足x3f'（x）+8＞0，且f（2）=2，则不等式$f（{e^x}）＜\frac{4}{{{e^{2x}}}}+1$的解集为（　　）
A．（-∞，2）B．（-∞，ln2）C．（0，2）D．（0，ln2）

分析 令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$，求出函数的导数，得到函数的单调性又$F（{e^x}）=f（{e^x}）-\frac{4}{{{e^{2x}}}}-1＜0=F（2）$，问题转化为ex＜2，解出即可．

解答 解：由条件知$f'（x）+\frac{8}{x^3}＞0$，
令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$，
则$F'（x）=f'（x）+\frac{8}{x^3}＞0$，
故F（x）在（0，+∞）上是增函数，
$F（2）=f（2）-\frac{4}{2^2}-1=0$，
又$F（{e^x}）=f（{e^x}）-\frac{4}{{{e^{2x}}}}-1＜0=F（2）$，
从而ex＜2，即x＜ln2，
故不等式的解集是（-∞，ln2），
故选：B．

点评 本题考查函数与导数、不等式的综合知识，构造函数令$F（x）=f（x）-\frac{4}{x^2}-1$是解题的关键．

练习册系列答案
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20．集合A={x|y=ln（1-x）}，B={x|x2-2x-3≤0}，全集U=A∪B，则∁U（A∩B）=（　　）
A．{x|x＜-1或x≥1}B．{x|1≤x≤3或x＜-1}C．{x|x≤-1或x＞1}D．{x|1＜x≤3或x≤-1}
1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0≤x＜a}\\{{2}^{x}，x≥a}\end{array}\right.$，若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）-b有两个不同的零点，则a的取值范围是2＜a＜4．
18．在平面直角坐标系中，已知圆O1：（x+a）2+y2=4，圆O2：（x-a）2+y2=4，其中常数a＞2，点P是圆O1，O2外一点．
（1）若a=3，P（-1，4），过点P作斜率为k的直线l与圆O1相交，求实数k的取值范围；
（2）过点P作O1，O2的切线，切点分别为M1，M2，记△PO1M1，△PO2M2的面积分别为S1，S2，若S1=$\sqrt{a+1}$•S2，求点P的轨迹方程．
5．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（　　）
A．$（{0，1+\frac{1}{e}}）$B．$（{1，1+\frac{1}{e}}）$C．（1，1+e）D．（1，1+e2）
15．以椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一动点M为圆心，1为半径作圆M，过原点O作圆M的两条切线，A，B为切点，若∠AOB=θ，θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，则椭圆C的离心率为（　　）
A．$\frac{\sqrt{5}}{4}$B．$\frac{\sqrt{3}}{3}$C．$\frac{\sqrt{2}}{2}$D．$\frac{\sqrt{2}}{3}$
2．已知函数f（x）=2lnx+x2-2ax（a＞0）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且f（x1）-f（x2）≥$\frac{3}{2}$-2ln2恒成立，求a的取值范围．
19．等比数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=2，a4=-2，则{an}的通项公式an=2×（-1）n-1，S9=2．
20．已知a=5log33.4，b=5log33.6，c=（$\frac{1}{5}$）log30.5，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b

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