Question

18．在平面直角坐标系中，已知圆O₁：（x+a）²+y²=4，圆O₂：（x-a）²+y²=4，其中常数a＞2，点P是圆O₁，O₂外一点．
（1）若a=3，P（-1，4），过点P作斜率为k的直线l与圆O₁相交，求实数k的取值范围；
（2）过点P作O₁，O₂的切线，切点分别为M₁，M₂，记△PO₁M₁，△PO₂M₂的面积分别为S₁，S₂，若S₁=$\sqrt{a+1}$•S₂，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）过点P作斜率为k的直线l与圆O₁相交，圆心到直线的距离d=$\frac{|-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，即可求实数k的取值范围；
（2）利用S₁=$\sqrt{a+1}$•S₂，直接求点P的轨迹方程．

解答 解：（1）a=3，圆O₁：（x+3）²+y²=4的圆心坐标为（-3，0），半径为2，
设直线l的方程为y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，∴k≥$\frac{3}{4}$；
（2）设P（x，y），
∵S₁=$\sqrt{a+1}$•S₂，
∴$\frac{1}{2}$|PM₁|×2=$\sqrt{a+1}$•$\frac{1}{2}$|PM₂|×2，
∴|PM₁|=$\sqrt{a+1}$•|PM₂|，
∴|PO₁|²-4=（a+1）•（|PO₂|²-4）
∴（x+a）²+y²-4=（a+1）•[（x-a）²+y²-4]．
即点P的轨迹方程为x²+y²-2（a+2）+a²-4=0．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题