Question

13．已知动圆P过定点F（1，0）且和直线l：x=-1相切．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若过点F的直线与轨迹E交于A，B两点，点M（-1，0），求证：直线MA、MB的斜率之和为0．

Answer 1

分析 （1）根据已知及抛物线的定义知动点P的轨迹E是以F（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，由此能求出动点P的轨迹E的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my-4=0，由此利用韦达定理、直线的斜率，结合已知能证明直线MA、MB的斜率之和为0．

解答 解：（1）∵动圆P过定点F（1，0）且和直线l：x=-1相切，
∴根据已知及抛物线的定义知：
动点P的轨迹E是以F（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，
∴动点P的轨迹E的方程为y²=4x．
证明：（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my-4=0，
△=16m²+16＞0，y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}+{y}_{2}{x}_{1}+{y}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$
=$\frac{（1+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{（1-1）•4m}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=0．
∴直线MA、MB的斜率之和为0．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线的斜率之和为定值的证明，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．