Question

8．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=5|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，|PF₂|≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．

解答 解：∵P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴4|PF₂|-|PF₂|=2a，即|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
根据点P在双曲线的右支上，可得|PF₂|=$\frac{2}{3}$a≥c-a，∴$\frac{5}{3}$a≥c，即e≤$\frac{5}{3}$，
此双曲线的离心率e的最大值为$\frac{5}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义转化为|PF₂|≥c-a是解决本题的关键．