Question

已知圆C：x²＋y²＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.

(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；

(2)若直线l与圆C相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值

Answer 1

解：(1)将圆的方程配方，

得(x＋)²＋(y－3)²＝.

故有>0，解得m<.                                

将直线l的方程与圆C的方程联立得

消去y，得x²＋()²＋x－6×＋m＝0，

整理得5x²＋10x＋4m－27＝0.①

∵直线l与圆C没有公共点，

∴方程①无解，故有Δ＝10²－4×5(4m－27)<0，解得m>8.

∴m的取值范围是(8，)．                               

(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

由OP⊥OQ，

得O·O＝0，即x₁·x₂＋y₁·y₂＝0.②

由(1)及根与系数的关系得

x₁＋x₂＝－2，x₁·x₂＝.③

又∵点P，Q在直线x＋2y－3＝0上，

∴y₁·y₂＝·＝[9－3(x₁＋x₂)＋x₁·x₂]．

将③代入上式，得y₁·y₂＝.④

将③④代入②得x₁·x₂＋y₁·y₂＝＋＝0，解得m＝3.

代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.