Question

16．已知a为实数，函数f（x）=|x²-ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）若关于a的方程g（a）-3+b=0有两解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论以确定函数的单调性及去绝对值号，从而确定g（a）的解析式；
（2）作函数g（x）与y=3-b的图象，从而可得3-b＞1-（2$\sqrt{2}$-2）=3-2$\sqrt{2}$，从而解得．

解答 解：（1）①当a≤0时，f（x）=x²-ax在区间[0，1]上是增函数，
∴g（a）=f（1）=1-a，
②当0＜a＜1时，
f（x）在[0，$\frac{a}{2}$）上是增函数，在[$\frac{a}{2}$，a）上是减函数，在[a，1]上是增函数；
而f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
∵f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a-1，
故当a∈（0，2$\sqrt{2}$-2]时，f（$\frac{a}{2}$）≤f（1），g（a）=f（1）=1-a，
当a∈（2$\sqrt{2}$-2，1）时，f（$\frac{a}{2}$）＞f（1），g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
③当1≤a＜2时，f（x）在[0，$\frac{a}{2}$）上是增函数，在[$\frac{a}{2}$，1]上是减函数，
故g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
④当a≥2时，f（x）在[0，1]上是增函数，
故g（a）=f（1）=a-1，
综上所述，
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a≤2\sqrt{2}-2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，2\sqrt{2}-2＜a＜2}\\{a-1，a≥2}\end{array}\right.$，
（2）作函数g（x）与y=3-b的图象如下，
，
结合图象可知，
3-b＞1-（2$\sqrt{2}$-2）=3-2$\sqrt{2}$，
故b＜2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及分段函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用．