Question

设a₁=1，a₂=，a_n+2=a_n+1-a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{na_n}的前n项的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知递推式变形为，递推下去即可得出：当n≥2时，，再变形为：，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用（1）和“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：（1）∵a₁=1，a₂=，a_n+2=a_n+1-a_n，
∴=…===1，
∴当n≥2时，，
∴，
∴数列{a_n-3}是首项为-2，公比为的等比数列．
∴．
（2），由（1）知：，
设数列{2}的前n项和为：T_n=2，
则
上两式相减得：…+
=
=，
∴，
设所求数列{na_n}的前n项和为S_n，
∴S_n=+6n×=．
点评：正确理解递推公式的含义和熟练变形利用等比数列的通项公式、及掌握“错位相减法”及等比数列的前n项和公式等是解题的关键．