Question

设a₁=1，a₂=

5

3

，a_n+2=

5

3

a_n+1-

2

3

a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{na_n}的前n项的和．

Answer 1

分析：（1）把已知递推式变形为an+2-

2

3

an+1=an+1-

2

3

an，递推下去即可得出：当n≥2时，an-

2

3

an-1=1，再变形为：an-3=

2

3

(an-1-3)，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用（1）和“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵a₁=1，a₂=

5

3

，a_n+2=

5

3

a_n+1-

2

3

a_n，
∴an+2-

2

3

an+1=an+1-

2

3

an=…=a2-

2

3

a1=

5

3

-

2

3

×1=1，
∴当n≥2时，an-

2

3

an-1=1，
∴an-3=

2

3

(an-1-3)，
∴数列{a_n-3}是首项为-2，公比为

2

3

的等比数列．
∴an=(-2)×(

2

3

)n-1+3．
（2），由（1）知：nan=-2n(

2

3

)n-1+3n，
设数列{2n(

2

3

)n-1}的前n项和为：T_n=2[1+2×

2

3

+3×(

2

3

)2+…+n×(

2

3

)n-1]，
则

2

3

Tn=2[1×

2

3

+2×(

2

3

)2+…+(n-1)×(

2

3

)n-1+n×(

2

3

)n]
上两式相减得：

1

3

Tn=2[1+

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1-n×(

2

3

)n]
=2×[

1-( 2 3 )n

1- 2 3

-n×(

2

3

)n]
=6[1-(

2

3

)n]-2n×(

2

3

)n，
∴Tn=18[1-(

2

3

)n]-6n×(

2

3

)n，
设所求数列{na_n}的前n项和为S_n，
∴S_n=-18[1-(

2

3

)n]+6n×(

2

3

)n+3×

n(n+1)

2

=(18-6n)×(

2

3

)n+

3n2

2

+

3n

2

-18．

点评：正确理解递推公式的含义和熟练变形利用等比数列的通项公式、及掌握“错位相减法”及等比数列的前n项和公式等是解题的关键．