Question

已知函数f(x)=

2x-x2(x∈[0，1)) -x+2(x∈[1，2])

．
（1）在所给坐标系中，画出y=-f（x）的图象；
（2）设y=f（x），x∈[1，2]的反函数为y=g（x），设a1=1，a2=

1

2

g(a1)，…，an=

1

2

g(an-1)，…，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若x0∈[0，1)，f(x0)=x1-1，x0=1-

3

2

f(x1)，求x₀和x₁的值．

Answer 1

分析：（1）应先根据自变量的范围不同根据相应的解析式画出不同段上的函数图象，进而问题即可获得解答；
（2）充分利用第一问中函数即可求得x∈[1，2]的反函数为y=g（x），先计算数列的几项，注意观察它们之间的规律，进行归纳即得．
（3）利用分段函数表示出f（x₀）和f（x₁），再解关于x₀，x₁的二元方程组即得．

解答：解：（1）由题意可知：
当x∈[0，1）时，f（x）=-x²+2x，为二次函数的一部分；
当x∈[1，2]时，f（x）=-x+2，为一次函数的一部分；
所以，函数f（x）的图象如图所示；
（2）设y=f（x），x∈[1，2]的反函数为y=g（x）=2-x，
a1=1，a2=

1

2

g(a1)=

1

2

，a3=

1

2

g(a2)=

3

4

，…
a3=

5

8

，a4=

15

16

，…
归纳得：an=

2

3

[1-(-

1

2

)n]；
（3）∵x0∈[0，1)，f(x0)=x1-1，x0=1-

3

2

f(x1)，
∴-x₀²+2x₀=x₁-1，x0=1-

3

2

(-x 1 +2)
解得：x0=

1

3

，x1=

14

9

．

点评：本题考查的是分段函数问题．在解答的过程当中充分体现了函数图象的画法、反函数以及问题转化和画图读图的能力．值得同学们体会反思．