Question

【题目】如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上存在点，使得平面，且．

【解析】

（I）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得.（II）以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出线面角的正弦值.（III）设,用表示出点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判断存在符合题意的点.

解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，

所以．

又因为平面平面，

且平面平面，

所以平面．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．

因为，所以两两垂直．

分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，，

所以，

所以．

设平面的一个法向量为，

则 即

令，则，

所以．

设直线与平面所成角为，

则．

（Ⅲ）设，

设，则，

所以，所以，

所以．

设平面的一个法向量为，则

因为，所以

令，则，所以．

在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．

因为，由，

所以，

解得，

所以线段上存在点，使得平面，且．