Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．

（1）求椭圆的方程；

（2）如果直线的斜率等于，求的值；

（3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）2（3）为定值，且定值为2.

【解析】试题分析：（1）先根据离心率以及焦点坐标列方程组，解得（2）先设、，利用斜率公式化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得的值；（3）设直线： ，同（2）化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得定值，最后验证斜率不存在情况也满足

试题解析：解：（1）， ， ，

椭圆方程为.

（2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F，

所以直线，

设、，

由消得，

则有， ．

所以.

（3）当直线的斜率不存在时， ， ，

则， ，故．

当直线的斜率存在时，设其为，

则直线： ，

设， ，

由消得，

则有， ．

所以

.

所以为定值，且定值为2.