Question

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求k的值．

Answer 1

解：(1)由题意得解得b＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由得(1＋2k²)x²－4k²x＋2k²－4＝0.

设点M，N的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，则

y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)，x₁＋x₂＝，

又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.

由＝，化简得7k⁴－2k²－5＝0，解得k＝±1.