Question

已知数列{b_n}前n项和Sn=

3

2

n2-

1

2

n，数列{a_n}满足a_n³=4^-（b_n+2）（n∈N*），数列{c_n}满足c_n=a_nb_n
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用b_n=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

，即可求得通项b_n，进而求得通项a_n．
（2）先求得c_n，进而利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（1）①n=1时，b1=S1=

3

2

×12-

1

2

×1=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

3

2

n2-

1

2

n-[

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1)]=3n-2，上式对于n=1时也适合，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=3n-2；
②由①可知，an3=4-(bn+2)=4^-3n，∴an=4-n，
∴数列{a_n}的通项公式an=4-n．
（2）由题意和（1）可知：cn=(3n-2)×4-n，
∴T_n=1×

1

41

+4×

1

42

+7×

1

43

+…+(3n-5)×

1

4n-1

+(3n-2)×

1

4n

，

1

4

×Tn=1×

1

42

+4×

1

43

+…+(3n-5)×

1

4n

+(3n-2)×

1

4n+1

，
∴

3

4

Tn=

1

4

+3×

1

42

+3×

1

43

+…+3×

1

4n

-(3n-2)×

1

4n+1

=

1

4

+3×

1 42 ×(1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-(3n-2)×

1

4n+1

，
∴T_n=

1

3

+

1

3

×(1-

1

4n-1

)-(3n-2)×

1

4n+1

=

2

3

-

1

3×4n-1

-(3n-2)×

1

4n+1

．

点评：本题考查了已知数列的前n项和求通项及利用错位相减法求数列的前n项和，掌握方法是解题的关键．