Question

已知数列{b_n}前n项和为S_n，且b₁=1，b_n+1=

1

3

S_n．
（1）求b₂，b₃，b₄的值；
（2）求{b_n}的通项公式；
（3）求b₂+b₄+b₆+…+b_2n的值．

Answer 1

分析：（1）由b₁=1，b_n+1=

1

3

S_n．分别令n=1，2，3可求
（2）由题意可得b_n+1=

1

3

S_n．b_n=

1

3

S_n-1（n≥2），两式相减，结合等比数列的通项公式可求
（3）由（2）可得b₂，b₄，b₆…b_2n是首项为

1

3

，公比(

4

3

)2的等比数列，结合等比数列的 求和公式可求

解答：解：（1）b₂=

1

3

S₁=

1

3

b₁=

1

3

，b₃=

1

3

S₂=

1

3

（b₁+b₂）=

4

9

，b₄=

1

3

S₃=

1

3

（b₁+b₂+b₃）=

16

27

．
（2）∵b_n+1=

1

3

S_n．
∴b_n=

1

3

S_n-1（n≥2）
两式相减可得，b_n+1-b_n=

1

3

b_n，
∴b_n+1=

4

3

b_n，
∵b₂=

1

3

，
∴b_n=

1

3

•(

4

3

)n-2　（n≥2）
∴b_n=

1，n=1 1 3 •( 4 3 )n-2，n≥2

．
（3）b₂，b₄，b₆…b_2n是首项为

1

3

，公比(

4

3

)2的等比数列，
∴b₂+b₄+b₆+…+b_2n
=

1 3 [1- 4 3 2n]

1-( 4 3 )2

=

3

7

[（

4

3

）²ⁿ-1]．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质的应用，数列的递推公式的应用是解答本题的关键