Question

已知数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列，且b_n=

1

an

-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S=a_n+a_n+1+…+a_2n-1（m∈N^*），证明：S＜

1

2•3n-1

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列，可得bn=3n，利用b_n=

1

an

-1（n∈N^*）即可得出．
（2）S=a_n+a_n+1+…+a_2n-1=

1

3n+1

+

1

3n+1+1

+…+

1

32n-1+1

＜

1

3n

+

1

3n+1

+…+

1

32n-1

，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）由数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴bn=3n，
∵b_n=

1

an

-1（n∈N^*）．
∴a_n=

1

3n+1

．
（2）由（1）知：S=a_n+a_n+1+…+a_2n-1
=

1

3n+1

+

1

3n+1+1

+…+

1

32n-1+1

＜

1

3n

+

1

3n+1

+…+

1

32n-1

=

1 3n (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2×3n-1

(1-

1

3n

)＜

1

2×3n-1

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．