Question

【题目】若实数满足，则称为的不动点.已知函数

，其中，、为常数。

（1）若，求函数的单调递增区间；

（2）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求实数的值；

（3）证明：不存在实数组，使得互异的两个极值点均为不动点.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）若，则.

故.

当时，显然，的单调递增区间为；

当时，由，知或.

综上，的单调递增区间为.

（2）由题意知

故，即.

解得.从而，.

（3）假设存在一组实数满足条件.

由条件知.

因为有两个不同的极值点，所以，. ①

设的两个不同的极值点为、 .

则、是方程的两个实根.

故，.

又由、是的不动点，知、是方程的两根，设其另一个根为.由韦达定理知

于是，.从而，.

又 ，

即.

故，即.

令.则.

因此，在上严格单增.

从而，至多有一个实根.

又，，则至少有一个实根.

所以，恰有一个实数根.

由式①、②知，即，与矛盾.

综上，不存在实数组，使得互异的两个极值点均为不动点.