Question

【题目】已知函数f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），设f（x）的导函数为f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

在区间上恒成立，即恒成立，可化为，由一次函数的性质可求的范围；可化为，由二次函数的性质求出函数的最值，可得的范围，综合两种情况可得结果．

f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x，

f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，

即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立，

﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化为（a+3）x+2（1﹣a）＞0，

，解得﹣3≤a≤5①；

3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化为2a＞﹣x2+2x+2，

而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3，

∴2a≥3，即②，

由①②可得，

∴实数a的取值范围是，故答案为．