Question

【题目】已知点，，C是抛物线上的动点.

（1）求周长的最小值；

（2）若C位于直线AB右下方，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，那么周长即为，为定值，则共线时周长最小，即得；（2）作与直线平行的直线，到直线的距离就是边上的高，且点在抛物线上，则当与抛物线相切时，面积的最大，设点，由抛物线在点处的切线斜率与直线的斜率相同，可得，即得点坐标，利用点到直线的距离公式，以及边的长度，由公式计算即得.

（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，如图1所示，

为抛物线焦点，，又为常数，共线时，周长最小，，周长最小值为.

（2）作与直线平行的直线，如图所示，

当与抛物线相切时，切点使得面积最大，此时到直线的距离就是边上的高，设切点，由得，，即，切点的坐标为，点到的距离为，的最大值为，即面积最大值为.