Question

1．已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b、a、d为常数）的极大值为f（x₁）、极小值为f（x₂），且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），则${（{b+\frac{1}{2}}）^2}+{（{c-3}）^2}$的取值范围是（　　）

• A． $（{\sqrt{5}，\frac{{\sqrt{61}}}{2}}）$
• B． $（{\sqrt{5}，5}）$
• C． $（{5，\frac{61}{4}}）$
• D． （5，25）

Answer 1

分析 求导f′（x）=3x²+2bx+c，从而可得x₁、x₂是方程3x²+2bx+c=0的两个根，从而可得关于b，c的不等式组；从而作出其可行域，而（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的几何意义是阴影内的点与点B（-$\frac{1}{2}$，3）的距离的平方，从而求（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范围是（5，25）．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
又∵f（x）在x=x₁时取得极大值且x₁∈（0，1），在x=x₂时取得极小值且x₂∈（1，2），
∴x₁、x₂是方程3x²+2bx+c=0的两个根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=c＞0}\\{f′（1）=3+2b+c＜0}\\{f′（2）=12+4b+c＞0}\end{array}\right.$；
作平面区域如下，

（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的几何意义是阴影内的点与点B（-$\frac{1}{2}$，3）的距离，
点B到直线3+2b+c=0的距离的平方为 $\frac{{（3-1+3）}^{2}}{{2}^{2}{+1}^{2}}$=5，
由 $\left\{\begin{array}{l}{3+2b+c=0}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$解得，
E（-$\frac{9}{2}$，6）；
故|BE|²=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$）²+（6-3）²=25；
故（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范围是（5，25）；
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及简单线性规划的应用，属于难题．