题目内容
6．已知函数f（x）=（1-a2）lnx-$\frac{1}{3}$x3．（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=ex-$\frac{x}{e}$-2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）-k＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．
分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出f（x）的导数，得到k的值，根据函数的单调性求出g（x）＞g（0），从而有-a2≤-1，解出即可．
解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{1{-x}^{3}}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）极大值=f（1）=-$\frac{1}{3}$，无极小值；
（2）f′（x）=$\frac{（1{-a}^{2}）{-x}^{3}}{x}$，（x＞0），
由题意得k=f′（1）=-a2，
∵g′（x）=ex-$\frac{1}{e}$＞0，（x＞0），
∴g（x）在（0，+∞）递增，g（x）＞g（0）=-1，
∴k≤g（0）=-1，即-a2≤-1，
故a≥1或a≤-1．
点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
练习册系列答案
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11．集合{1，2，3}的真子集个数有（ ）
| A． | C${\;}_{3}^{3}$个 | B． | （C${\;}_{3}^{1}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{3}^{3}$）个 | ||
| C． | （C${\;}_{3}^{0}$+C${\;}_{3}^{1}$+C${\;}_{3}^{2}$）个 | D． | （C${\;}_{3}^{0}$+C${\;}_{3}^{1}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{3}^{3}$）个 |
1．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、a、d为常数）的极大值为f（x1）、极小值为f（x2），且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则${（{b+\frac{1}{2}}）^2}+{（{c-3}）^2}$的取值范围是（ ）
| A． | $（{\sqrt{5}，\frac{{\sqrt{61}}}{2}}）$ | B． | $（{\sqrt{5}，5}）$ | C． | $（{5，\frac{61}{4}}）$ | D． | （5，25） |
下图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：