Question

9．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}-2$，a∈R．
（1）当a=4时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数在x=1处的切线平行于x轴，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）求出函数的导数，得到f′（1）=0，解出即可．

解答 解：（1）a=4时，f（x）=x+$\frac{4}{x}$-2，
f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0或0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，0）递减，
在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（-2）=-6，f（x）_极小值=f（2）=2；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
若函数在x=1处的切线平行于x轴，
则f′（1）=1-a=0，解得：a=1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．